试题分析:(1)将
利用
进行化简,得到关于
与
的递推关系式,根据其特点,求其通项公式;(2)本题关键是求出
,根据其表达式的特点,可每两项组合后提取公因式
后,转化为等差数列求和,但要注意对
,分奇偶性讨论,求出
后,
对
恒成立再分离参数后转化为求最值问题,容易求出实数
的取值范围;(3)此类问题,一般先假设存在符合条件的数列,解出来则存在,如果得到矛盾的结果,则假设错误,这样的数列则不存在.
试题解析:⑴因为
,
所以
. 2分
因为
,所以数列
是以1为首项,公差为
的等差数列.
所以
. 4分
⑵①当
时,
. 6分
②当
时,
. 8分
所以
要使
对
恒成立,
只要使
为偶数恒成立.
只要使
,
为偶数恒成立,故实数
的取值范围为
. 10分
⑶由
,知数列
中每一项都不可能是偶数.
①如存在以
为首项,公比
为2或4的数列
,
,
此时
中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以
为首项,公比为偶数的数列
. 12分
②当
时,显然不存在这样的数列
.
当
时,若存在以
为首项,公比为3的数列
,
.
则
,
,
,
.
所以满足条件的数列
的通项公式为
. 16分