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设函数,数列满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,若恒成立,求实数的取值范围;
⑶是否存在以为首项,公比为的数列,使得数列中每一项都是数列中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,说明理由.
(1);(2);(3)存在,理由详见解析.

试题分析:(1)将利用进行化简,得到关于的递推关系式,根据其特点,求其通项公式;(2)本题关键是求出,根据其表达式的特点,可每两项组合后提取公因式后,转化为等差数列求和,但要注意对,分奇偶性讨论,求出后,恒成立再分离参数后转化为求最值问题,容易求出实数的取值范围;(3)此类问题,一般先假设存在符合条件的数列,解出来则存在,如果得到矛盾的结果,则假设错误,这样的数列则不存在.
试题解析:⑴因为
所以.                            2分
因为,所以数列是以1为首项,公差为的等差数列.
所以.                            4分
⑵①当时,



.                         6分
②当时,


.                8分
所以 要使恒成立,
只要使为偶数恒成立.
只要使为偶数恒成立,故实数的取值范围为. 10分
⑶由,知数列中每一项都不可能是偶数.
①如存在以为首项,公比为2或4的数列
此时中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以为首项,公比为偶数的数列. 12分
②当时,显然不存在这样的数列
时,若存在以为首项,公比为3的数列

所以满足条件的数列的通项公式为.          16分
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