Question

11．如图，在△ABC中，已知AB=AC=$\sqrt{6}$，AD=DC，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AE}$，若$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}$等于$-\frac{11}{12}$．

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）$带入$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$即可得到$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=-1$，而由$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AE}$可得到$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，从而可以得到$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$．而根据条件$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$即可求出$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$，从而可以求出cos∠ABC，根据数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$，从而求出$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}$．

解答 解：$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=-1$；
∵$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AE}$；
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CA}$$-\frac{1}{6}{\overrightarrow{BA}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}）+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$-1=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}$；
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）=-\frac{1}{2}$得：
${\overrightarrow{BC}}^{2}-{\overrightarrow{BA}}^{2}=-1$；
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}=5$；
∴$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$；
∴$cos∠ABC=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{12}$；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|cos＜\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AB}＞$=$\sqrt{5}•\sqrt{6}•（-\frac{\sqrt{30}}{12}）=-\frac{5}{2}$；
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=-\frac{11}{12}$．
故答案为：$-\frac{11}{12}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，数量积的运算，余弦函数的定义，以及向量数量积的计算公式．