Question

17．函数f（x）=x²+ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内．
（1）在平面直角坐标系中，画出点（a，b）构成的平面区域；
（2）求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 由函数f（x）=x²+ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内可得关于a，b的不等式组．
（1）直接由不等式组画出点（a，b）构成的平面区域；
（2）令z=a+b得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+2b的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（1，2）内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
（1）由约束条件作出可行域如图：
（2）令z=a+b，化为直线方程的斜截式b=-a+z，
A（-1，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-3，1），
由图可知，当直线b=-a+z过A时，直线在b轴上的截距最大，z有最大值为-1；
当直线b=-a+z过B时，直线在b轴上的截距最小，z有最小值为-3+1=-2．
∴a+b的范围为[-2，-1]．

点评 本题考查一元二次方程根的分布，考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．