Question

已知等差数列{a_n}，设b_n=（

1

2

） an，又已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁•b₂•b₃=

1

8

，
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{a_n}是递减数列，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．从而bn=（

1

2

）a₁+（n-1）d，由已知得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8

，由此能求出a_n．
（2）由数列{a_n}是递减数列，得a₁=3，d=-2，由此能求出数列{a_n}的前n项和．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．
∴bn=（

1

2

）a₁+（n-1）d，
b₁b₃=（

1

2

）a₁•（

1

2

）a₁+2d=（

1

2

）2（a₁+d）=b₂²．
由b₁b₂b₃=

1

8

，得b₂³=

1

8

，
解得b₂=

1

2

．
代入已知条件b₁b₂b₃=

1

8

．b₁+b₂+b₃=

21

8

，
整理，得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8

，解这个方程组得b₁=2，b₃=

1

8

，或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
所以，当a₁=-1，d=2时
a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．
当a₁=3，d=-2时
a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．
（2）∵数列{a_n}是递减数列，∴a₁=3，d=-2，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=3n+

n(n-1)

2

×(-2)=4n-n²．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．