Question

设椭圆的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由焦点坐标可求得c，进而根据求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当直线DE和直线MN与x轴垂直时，可求得四边形DMEN的面积；进而看直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE的直线方程与椭圆方程联立消去y，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），进而利用韦达定理可得x₁x₂和x₁+x₂，进而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|进而可表示出四边形的面积，进而根据均值不等式求得四边形的面积的范围，则最大值和最小值可得．
解答：解：（Ⅰ）由题意，，∴A（a²，0），
∵∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
即椭圆方程为．

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=，
此时，四边形DMEN的面积为．
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则
所以，，
所以，，
同理，|MN|=．
所以，四边形的面积S===，
令，得
因为，
当k=±1时，，且S是以u为自变量的增函数，
所以．
综上可知，．即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和基本运算的能力．