Question

9．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C：ρ=2cosθ-2sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-1+2\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与圆C分别交于M、N，点P是圆C上不同于M、N的任意一点．
（1）写出C的直角坐标方程和l的普通方程；
（2）求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，写出结果即可．
（2）求出圆心到直线的距离，求出P到直线MN的距离的最大值，然后求解三角形的面积．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）圆C的直角坐标方程为x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2．
直线l的普通方程为$2\sqrt{2}x-y-1=0$．…（5分）
（2）圆心（1，-1）到直线l：$2\sqrt{2}x-y-1=0$的距离为d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以，|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-d}$=$2\sqrt{2-\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
而点P到直线MN的距离的最大值为r+d=$\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
S_△PMN=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$                     …（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，极坐标与直角坐标方程的互化，考查计算能力．