Question

 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作

（1）选修4—2:矩阵与变换

若二阶矩阵满足.

（Ⅰ）求二阶矩阵；

（Ⅱ）把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程.

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.

（3）选修4—5：不等式选讲

已知函数的最小值为，实数满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）选修:矩阵与变换

本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.

解：（Ⅰ）记矩阵，故，故.  ……2分

由已知得.  ……3分

（Ⅱ）设二阶矩阵所对应的变换为，得，

解得，   ……5分

又，故有，化简得.故所得曲线的方程为.  ……7分

（2）选修:坐标系与参数方程

本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.

解：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：. ……1分

①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；  ……2分

②当时，曲线C为中心在原点的椭圆.  ……3分

（Ⅱ）直线的普通方程为：.   ……4分

联立直线与曲线的方程，消得，化简得.

若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得.

……5分

又  ……6分

故

.

解得与相矛盾.  

故不存在满足题意的实数.   ……7分

（3）选修；不等式选讲

本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.

解：（Ⅰ）法一： ，……2分

可得函数的最小值为2.故.  ……3分

法二：，  ……2分

当且仅当时，等号成立，故.   ……3分

（Ⅱ）

  ……5分

    即：,

            故.    ……7分