Question

9．已知函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2cos（$\frac{π}{4}$-x）•[-sin（$\frac{π}{4}$-x）]
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
再根据x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，可得f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的单调递增区间为[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．