Question

已知函数：f（x）=3x²-2mx-1，g（x）=|x|-

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4

．
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）若对任意的x∈（-1，2），f（x）≥g（x），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）≥-2，可化为3x²-2mx+1≥0，分判别式当△≤0时、②当△＞0时两种情况，分别求得不等式的解集．
（2）因为 3x²-2mx-1≥|x|-

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4

对任意的x∈（-1，2）恒成立，分①当0＜x＜2时、②当-1＜x＜0时、③当x=0时三种情况，分别求得m的范围，综合可得结论．

解答：解：（1）不等式f（x）≥-2，可化为3x²-2mx+1≥0，△=4（m²-3），
①当△≤0时，即-

3

≤m≤

3

时，不等式的解为R；
②当△＞0时，即m＜-

3

或m＞-

3

时，求得x1=

m- m2-3

3

，x2=

m+ m2-3

3

，
不等式的解为{x|x＜

m- m2-3

3

，或x＞

m+ m2-3

3

}．
（2）因为 3x²-2mx-1≥|x|-

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4

 对任意的x∈（-1，2）恒成立，
①当0＜x＜2时，不等式即 3x²-（2m+1）x+

3

4

≥0，即 3x+

3

4x

≥2m+1 在（0，2）上恒成立．
因为 3x+

3

4x

≥3，当x=

1

2

时等号成立．所以3≥2m+1，即 m≤1．
②当-1＜x＜0时，不等式即 3|x|²+（2m-1）|x|+

3

4

≥0，即 3|x|+

3

4|x|

≥-2m+1 在（-1，0）上恒成立，
因为 3|x|+

3

4|x|

≥3，当x=-

1

2

时等号成立，所以3≥1-2m，即m≥-1．
③当x=0时，m∈R．
综上所述，实数m的取值范围是[-1，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．