Question

（本小题满分12分）已知函数，，

（1）       判断函数的奇偶性，并证明；

（2）  判断的单调性,并说明理由。（不需要严格的定义证明,只要说出理由即可）

（3）  若，方程是否有根？如果有根，请求出一个长度为1的区间，使；如果没有，请说明理由。（注：区间的长度＝）

 

Answer 1

【答案】

（1） 为奇函数，证明：见解析；

（2）时，单调递增；，单调递减。

（3）方程有根。

【解析】

试题分析：(1)根据f(-x)=-f(x)可知此函数是奇函数。

（1）       分a>1和0<a<1两种情况研究即可。a>1时，是两个增函数的和，0<a<1时，是两个减函数的和。

从而确定其单调性与底数a有关系。

(3) 当，，又,再令,

然后判断g(-1),g(0)的值，从而判断y=g(x)在(-1,0)上是否存在零点,从而达到证明f(x)=x+1是否在(-1,0)上有根的目的。

（1）    为奇函数……………………１分

证明：∵的定义域为R，关于原点对称  …………………2分

又 …………………………………………３分

所以可知为奇函数……………………………………………４分

（2） ∵＝

① 当时，单调递增，单调递减，

所以单调递增…………………………………………………６分

②当时，单调递减，单调递增，

所以单调递减。

综上可知时，单调递增；，单调递减。

………………………………………………８分

（3）当，，又

设…………………………………９分

∵ ………………………………………………１０分

∴ ，故存在零点

即方程有根……………………………………………１２分

考点：函数的单调性，奇偶性，函数的零点与方程的根的关系。

点评：掌握判断函数奇偶性的方法：一要看定义域是否关于原点对称，二要看f(-x)与f(x)的关系。

要掌握函数单调性的定义，它是证明抽象函数单调性的依据。函数的零点与方程的根的关系要搞清楚，它是实现根与零点的判断转化的依据。