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已知定义在R上的函数f(x)满足下面两个条件:
①对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
②当x>0时,f(x)<0
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)判断f(x)的单调性,并证明;
(3)如果不等式f(m-4sinx)+f(
74
-cos2x)≤0
对于任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)根据已知等式,采用赋值法结合函数奇偶性的定义,可得f(x)是奇函数;
(2)根据函数单调性的定义,任取x1<x2,将 f(x2)与f(x1)作差得到负数,从而 f(x1)>f(x2),得到f(x) 在R上是减函数;
(3)根据函数在R上是奇函数且为减函数,将原不等式转化为m≥cos2x+4sinx-
7
4
在R上恒成立,再根据二次函数在闭区间上的最值,得到不等式右边的最大值,从而得到实数m的取值范围.
解答:解:(1)取x=y=0,可得f(0)=0,
再取y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数                   …(5分)
(2)任取x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
可得 f(x1)>f(x2),所以f(x) 在R上是减函数                              …(10分)
(3)∵f(m-4sinx)+f(
7
4
-cos2x)≤0
,且f(x)是奇函数
f(m-4sinx)≤-f(
7
4
-cos2x)=f(cos2x-
7
4
)

∵f(x) 在R上是减函数
m-4sinx≥cos2x-
7
4
,即m≥cos2x+4sinx-
7
4

m≥(cos2x+4sinx-
7
4
)max

∴下面即求函数cos2x+4sinx-
7
4
的最大值
由于cos2x+4sinx-
7
4
=-(sinx-2)2+
13
4
,sinx∈[-1,1]
∴当且仅当sinx=1时,(cos2x+4sinx-
7
4
)
max
=
9
4

所以m≥
9
4
…(16分)
点评:本题着重考查了函数的单调性与奇偶性、复合三角函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识,属于中档题.
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  则:
①f(3)的值为
0
0

②f(2011)的值为
-1
-1

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A、-2B、2C、4D、-4

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A、0B、2013C、3D、-2013

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