【题目】已知椭圆E: 的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析: 方法一,求出
,椭圆方程和顶点
,设出直线
的方程,代入椭圆方程,求交点
,运用弦长公式求得
,由垂直的条件可得
,再由
,解得
,运用三角形的面积公式可得
的面积;
方法二:运用椭圆的对称性,可得直线的斜率为
,求得
的方程代入椭圆方程,解方程可得
,
的坐标,运用三角形的面积公式计算即可得到
直线
的方程为
,代入椭圆方程,求得交点
,得
,
,再由
,求出
,再由椭圆的性质可得
,解不等式即可得到所求范围。
解析:(1)方法一、t=4时,椭圆E的方程为+
=1,A(﹣2,0),
直线AM的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,
解得x=﹣2或x=﹣,则|AM|=
|2﹣
|=
,
由AN⊥AM,可得|AN|==
,
由|AM|=|AN|,k>0,可得=
,
整理可得(k﹣1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0无实根,可得k=1,
即有△AMN的面积为|AM|2=
(
)2=
;
方法二、由|AM|=|AN|,可得M,N关于x轴对称,
由MA⊥NA.可得直线AM的斜率为1,直线AM的方程为y=x+2,
代入椭圆方程+
=1,可得7x2+16x+4=0,
解得x=﹣2或﹣,M(﹣
,
),N(﹣
,﹣
),
则△AMN的面积为×
×(﹣
+2)=
;
(2)直线AM的方程为y=k(x+),代入椭圆方程,
可得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0,
解得x=﹣或x=﹣
,
即有|AM|=|
﹣
|=
,
|AN|═=
,
由2|AM|=|AN|,可得2=
,整理得t=
,
由椭圆的焦点在x轴上,则t>3,即有>3,即有
<0,
可得<k<2,即k的取值范围是(
,2).
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【题目】已知椭圆的右顶点与抛物线
的焦点重合,椭圆
的离心率为
,过椭圆
的右焦点
且垂直于
轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线
的方程;
(2)过点的直线
与
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,证明:直线
恒过一定点.
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【题目】为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒1个单位的净化剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y= 若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂,则净化时间可达几天?
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效净化,试求a的最小值(精确到0.1,参考数据: 取1.4).
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【题目】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
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【题目】在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,平面
平面
.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求平面和平面
所成二面角(小于
)的大小.
(Ⅲ)在棱上是否存在点
使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】(2017·贵州适应性考试)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P是线段A1C1上的动点,则三棱锥PBCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )
A. 1 B.
C. D. 2
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线
截得的弦长.
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