Question

已知圆O：x²+y²=1，圆C：（x-2）²+（y-4）²=1．在两圆外一点P（a，b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|．
（1）求实数a，b间的关系式．
（2）求切线长|PA|的最小值．
（3）是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切，若存在求出圆P的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接PO，PC，利用|PA|=|PB|．结合半径，推出实数a，b间的关系式．
（2）利用（1）的结论，通过勾股定理求出切线长|PA|的表达式，利用配方法求出最小值．
（3）设存在以P为圆心的圆，设出半径，利用|PC|=|PO|+2，结合勾股定理推出

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0，说明故满足条件的圆不存在．

解答：解：（1）连接PO，PC，∵|PA|=|PB|，|0A|=|CB|=1，
∴|PO|²=|PC|²从而a²+b²=（a-2）²+（b-4）²，a+2b-5=0．
（2）由（1）得a=-2b+5
∴|PA|=

|PO|2-|OA|2

=

a2+b2-1

=

5b2-20b+24

=

5(b-2)2+4

当b=2时，|PA|_min=2．
（3）若存在，设半径为R，则有|PO|=R-1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，
即

(a-2)2+(b-4)2

=

a2+b2

+2
整理得

a2+b2

=4-(a+2b)=-1＜0
故满足条件的圆不存在．

点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，存在性问题的解法，考查计算能力，推理能力．