精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2011•重庆一模)设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,2
Sn
是an+2 和an的等比中项.
(Ⅰ)证明数列{an}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1;
(Ⅲ)设集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500},若存在m∈M,使对满足n>m 的一切正整数n,不等式2Sn-4200>
an2
2
恒成立,求这样的正整数m共有多少个?
分析:(Ⅰ)由4Sn=an2+2an,且an>0. td 当n=1时,4a1=a12+2a1,解得a1=2.当n≥2时,有4Sn-1=an-12+2an-1.于是4an=an2-an-12+2an-2an-1.故(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).由此能证明数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,且an=2n.
(Ⅱ)因为an=2n,则
1
Sn
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,由此能够证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1.
(Ⅲ)由2Sn-4200>
an2
2
,得2n(n+1)-4200>2n2,所以n>2100.故M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}.由此能够求出集合M中满足条件的正整数m的个数.
解答:解:(Ⅰ)由已知,4Sn=an2+2an,且an>0. …(1分)
当n=1时,4a1=a12+2a1,解得a1=2.    …(2分)
当n≥2时,有4Sn-1=an-12+2an-1
于是4Sn-4Sn-1=an2-an-12+2an-2an-1
即4an=an2-an-12+2an-2an-1
于是an2-an-12=2an+2an-1
即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1).
因为an+an-1>0,
所以an-an-1=2,n≥2.
故数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,且an=2n.…(4分)
(Ⅱ)证明:因为an=2n,
1
Sn
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,…(5分)
所以
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
<1
.…(7分)
(Ⅲ)由2Sn-4200>
an2
2

得2n(n+1)-4200>2n2,所以n>2100.  …(9分)
由题设,M={2000,2002,…,2008,2010,2012,…,2998}.
因为m∈M,所以m=2100,2102,…,2998均满足条件.…(10分)
且这些数组成首项为2100,公差为2的等差数列.
设这个等差数列共有k项,
则2100+2(k-1)=2998,解得k=450.
故集合M中满足条件的正整数m共有450个. …(12分)
点评:本题考查等差数列的证明,数列通项公式的求法,证明证明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1和求集合中元素的个数.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意裂项求和法的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆一模)若抛物线的焦点坐标为(2,0),则抛物线的标准方程是
y2=8x
y2=8x

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆一模)已知cosα=
2
3
,则cos(π+2α)的值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆一模)在等比数列{an}中,已知a2=8,a5=1.
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=a2n,求数列{bn}的前n和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆一模)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系,声音的强度用I(单位:W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平L1(单位:分贝)表示,它们满足公式:L1=10•lg
II0
(L1≥0,其中I0=1×10-12W/m2),I0是人们能听到的最小强度,是听觉的开始.请回答以下问题:
(Ⅰ)树叶沙沙声的强度为1×10-12W/m2),耳语的强度为1×10-10W/m2),无线电广播的强度为1×10-8W/m2),试分别求出它们的强度水平;
(Ⅱ)某小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下(不含50分贝),试求声音强度I的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆一模)已知函数f(x)=
x+ax+1
(a为常数).
(I)若a=0,解不等式f(x)>2;
(II)解关于x的不等式f(x-1)>0.

查看答案和解析>>

同步练习册答案