Question

11．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，a₅=81，等差数列{b_n}的前n项和为T_n，T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}$n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，$（{S_n}+\frac{1}{2}）•k$≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，由题意和等比数列的性质求出q，由等比数列的通项公式求出a_n，由题意、数列的通项公式与前n项和的关系求出b_n；
（2）解法一：由（1）和等比数列的前n项和公式求出a₁、S_n，代入恒成立的式子化简并分离出k，令${c}_{n}=\frac{3n-6}{{3}^{n}}\\;\\;\$，利用列不等式组求出c_n的最大值，即可求出k的范围；
解法二：由（1）和等比数列的前n项和公式求出a₁、S_n，代入恒成立的式子化简并分离出k，令${c}_{n}=\frac{3n-6}{{3}^{n}}\\;\\;\$，利用作差法判断出数列{c_n}的单调性，求出c_n的最大值，即可求出k的范围．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
由题意得，$\frac{a_5}{a_2}={q^3}=\frac{81}{3}=27\;\;\;∴q=3$，
∴${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=3•{3^{n-2}}={3^{n-1}}$…（3分）
∵T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}$n，
∴当n≥2时，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}n-[{\frac{3}{2}{{（n-1）}^2}-\frac{9}{2}（n-1）}]=3n-6$…（4分）
当n=1时，${b_1}={T_1}=\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-3$也适合上式  …（5分）
综上得，${b_n}=3n-6\;\;（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）解法 一：由（1）得，
${a_1}=1，\;\;\;\;{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（7分）
由条件得，$（\frac{{{3^n}-1}}{2}+\frac{1}{2}）k≥3n-6$对n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{6n-12}{3^n}$对?n∈N^*恒成立 …（8分）
令${c_n}=\frac{3n-6}{3^n}\;\;\;则k≥2•{（{c_n}）_{max}}$，
设$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n}≥{c}_{n+1}}\\{{c}_{n}≥{c}_{n-1}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n-6}{{3}^{n}}≥\frac{3n-3}{{3}^{n+1}}}\\{\frac{3n-6}{{3}^{n}}≥\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
解得2.5≤n≤3.5，则n=3…（10分）
∴${（{c_n}）_{max}}={c_3}=\frac{1}{9}$，即$k≥2{（{c_n}）_{max}}=\frac{2}{9}$…（11分）
∴实数k的取值范围是$[\frac{2}{9}\;，\;+∞）$．…（12分）
解法二：由（1）得，
${a_1}=1，\;\;\;\;{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（7分）
由条件得，$（\frac{{{3^n}-1}}{2}+\frac{1}{2}）k≥3n-6$对n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{6n-12}{3^n}$对n∈N^*恒成立…（8分）
令${c_n}=\frac{3n-6}{3^n}\;\;\;则k≥2•{（{c_n}）_{max}}$，
∵${c_n}-{c_{n-1}}=\frac{3n-6}{3^n}-\frac{3n-9}{{{3^{n-1}}}}=\frac{-2n+7}{{{3^{n-1}}}}$，
∴当n≤3时，c_n＞c_n-1，当n≥4时，c_n＜c_n-1…（10分）
则${（{c_n}）_{max}}={c_3}=\frac{1}{9}$，即$k≥2{（{c_n}）_{max}}=\frac{2}{9}$…（11分）
∴实数k的取值范围是$[\frac{2}{9}\;，\;+∞）$．…（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，数列的通项公式与前n项和的关系，求数列最大项的两种方法，以及恒成立转化为求最值问题，考查转化思想，函数思想，化简、变形能力，注意n是N^*．