【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,.边分别在轴.轴的正半轴上,点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使点落在线段上。
(1)若折痕所在直线的斜率为,试求折痕所在直线的方程;
(2)当时,求折痕长的最大值;
(3)当时,折痕为线段,设,试求的最大值。
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)对k=0,分类讨论,将矩形折叠后点落在线段上的点记为,先求G的坐标,再求折痕所在的直线与的交点坐标,写出直线的点斜式方程.(2) 先求出折痕直线交于点,交轴于,再求的最大值,即得折痕长的最大值.(3)先求得,再求t的表达式和其最大值.
(1) ①当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程
②当时,将矩形折叠后点落在线段上的点记为,
所以与关于折痕所在的直线对称,
有
故点坐标为,
从而折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)为
折痕所在的直线方程,即
由①②得折痕所在的直线方程为:
(2)当时,折痕的长为2;
当时,折痕直线交于点,交轴于
∵
∴折痕长度的最大值为。
而 ,故折痕长度的最大值为
(3)当时,折痕直线交于,交轴于
∵ ∴
∵ ∴(当且仅当时取“=”号)
∴当时,取最大值,的最大值是。
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【题目】收入是衡量一个地区经济发展水平的重要标志之一,影响收入的因素有很多,为分析学历对收入的作用,某地区调查机构欲对本地区进行了此项调查.
(1)你认为应采用何种抽样方法进行调查?
(2)经调查得到本科学历月均收入条形图如图,试估算本科学历月均收入的值?
(3)设学年为,令,月均收入为,已知调查机构调查结果如下表
学历 (年) | 小学 | 初中 | 高中 | 本科 | 硕士生 | 博士生 |
6 | 9 | 12 | 16 | 19 | 22 | |
2.0 | 2.7 | 3.7 | 5.8 | 7.8 | ||
2210 | 2410 | 2910 | 6960 |
从散点图中可看出和的关系可以近似看成是一次函数图像. 若回归直线方程为,试预测博士生的平均月收入.
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【题目】已知函数定义在上且满足下列两个条件:
①对任意都有;
②当时,有,
(1)求,并证明函数在上是奇函数;
(2)验证函数是否满足这些条件;
(3)若,试求函数的零点.
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【题目】在数列{an}中,前n项和为Sn , 且Sn= ,数列{bn}的前n项和为Tn , 且bn=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在m,n∈N* , 使得Tn=am , 若存在,求出所有满足题意的m,n,若不存在,请说明理由.
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【题目】 在平行四边形ABCD中,A(1,1),=(6,0),点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P.(1) 若=(3,5),求点C的坐标;(2) 当||=||时,求点P的轨迹.
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【题目】已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)﹣f(x)﹣f(y)+2成立,且x>0时,f(x)>2,
(1)求f(0)的值,并证明:当x<0时,1<f(x)<2.
(2)判断f(x)的单调性并加以证明.
(3)若函数g(x)=|f(x)﹣k|在(﹣∞,0)上递减,求实数k的取值范围.
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