Question

【题目】如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由平面，可得到，结合，根据线面垂直的判定定理即可得到平面，从而可得出；（2）首先以三直线为轴，建立空间直角坐标系，可设，从而可确定图形上各点的坐标，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，设直线与平面所成角为，则根据及空间向量夹角余弦公式，即可求得.

试题解析：（1）平面平面，即，又，平面平面.

（2）分别以三直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，， ，设平面的法向量为，则，取，记直线与平面所成角为，，直线与平面所成角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.