【题目】如图,在四棱锥中,
,底面
为平行四边形,
,
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由平面
,可得到
,结合
,根据线面垂直的判定定理即可得到
平面
,从而可得出
;(2)首先以
三直线为
轴,建立空间直角坐标系,可设
,从而可确定图形上各点的坐标,利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面
的法向量,设直线
与平面
所成角为
,则根据
及空间向量夹角余弦公式,即可求得
.
试题解析:(1)平面
平面
,即
,又
,
平面
平面
.
(2)分别以三直线为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,设
,则
,
,
,设平面
的法向量为
,则
,取
,记直线
与平面
所成角为
,
,
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质,以及利用空间向量求线面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】设满足以下两个条件的有穷数列,
,
,
为
阶“期待数列”:
①;
②.
()分别写出一个单调递增的
阶和
阶“期待数列”.
()若某
阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
()记
阶“期待数列”的前
项和为
,试证:
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)过点P(1,
).离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t.
求t的最大值;
②若直线l的斜率为,试探究OA2+ OB2是否为定值,若是定值,则求出此
定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系:
x | 30 | 40 | 45 | 50 |
y | 60 | 30 | 15 | 0 |
在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下,观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(分及以上为及格)和平均数?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知矩形的长为2,宽为1,
.
边分别在
轴.
轴的正半轴上,
点与坐标原点重合(如图所示)。将矩形折叠,使
点落在线段
上。
(1)若折痕所在直线的斜率为,试求折痕所在直线的方程;
(2)当时,求折痕长的最大值;
(3)当时,折痕为线段
,设
,试求
的最大值。
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的三边,a2﹣(b﹣c)2=bc,
(1)求角A;
(2)若BC=2 ,角B等于x,周长为y,求函数y=f(x)的取值范围.
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