Question

【题目】设满足以下两个条件的有穷数列， ， ， 为阶“期待数列”：

①；

②.

（）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.

（）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.

（）记阶“期待数列”的前项和为，试证： .

Answer 1

【答案】(1)三阶： ， ， 四阶： ， ， ， ．(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）借助新定义利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）利用某阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；

（Ⅲ）判断k=n时， ，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.

试题解析：

（）三阶： ， ， 四阶： ， ， ， ．

（）设等差数列， ， ， ， 公差为，

∵，

∴，

∴，即，

∴且时与①②矛盾，

时，由①②得： ，

∴，即，

由得，即，

∴，

令，

∴，

时，同理得，

即，

由得即，

∴，

∴时， ．

（）当时，显然成立；

当时，根据条件①得，

，

即，

，

∴，

∴．