【题目】设满足以下两个条件的有穷数列, , , 为阶“期待数列”:
①;
②.
()分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”.
()若某阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
()记阶“期待数列”的前项和为,试证: .
【答案】(1)三阶: , , 四阶: , , , .(2) ;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(Ⅱ)利用某阶“期待数列”是等差数列,通过公差为0,大于0.小于0,分别求解该数列的通项公式;
(Ⅲ)判断k=n时, ,然后证明k<n时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.
试题解析:
()三阶: , , 四阶: , , , .
()设等差数列, , , , 公差为,
∵
∴,
∴,即,
∴且时与①②矛盾,
时,由①②得: ,
∴,即,
由得,即,
∴,
令,
∴,
时,同理得,
即,
由得即,
∴,
∴时, .
()当时,显然成立;
当时,根据条件①得,
,
即,
,
∴,
∴.
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【题目】已知直线,
(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线;
(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交;
(3)系数满足什么条件时只与x轴相交;
(4)系数满足什么条件时是x轴;
(5)设为直线上一点,证明:这条直线的方程可以写成
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【题目】收入是衡量一个地区经济发展水平的重要标志之一,影响收入的因素有很多,为分析学历对收入的作用,某地区调查机构欲对本地区进行了此项调查.
(1)你认为应采用何种抽样方法进行调查?
(2)经调查得到本科学历月均收入条形图如图,试估算本科学历月均收入的值?
(3)设学年为,令,月均收入为,已知调查机构调查结果如下表
学历 (年) | 小学 | 初中 | 高中 | 本科 | 硕士生 | 博士生 |
6 | 9 | 12 | 16 | 19 | 22 | |
2.0 | 2.7 | 3.7 | 5.8 | 7.8 | ||
2210 | 2410 | 2910 | 6960 |
从散点图中可看出和的关系可以近似看成是一次函数图像. 若回归直线方程为,试预测博士生的平均月收入.
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【题目】设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )
A. B. 9 C. 18 D. 36
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【题目】已知函数f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则f(x)的单调递减区间是( )
A.[kπ+ ,kπ+ ],k∈z
B.[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈z
C.[2kπ+ ,2kπ+ ],k∈z
D.[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈z
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【题目】已知函数f(x)=sin2x+sinx+cosx,以下说法中不正确的是( )
A.f(x)周期为2π
B.f(x)最小值为﹣
C.f(x)在区间[0, ]单调递增
D.f(x)关于点x= 对称
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