Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法中不正确的是（ ）
A.f（x）周期为2π
B.f（x）最小值为﹣
C.f（x）在区间[0， ]单调递增
D.f（x）关于点x= 对称

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数周期为2π，故①正确；
②设t=sinx+cosx= sin（x+ ）∈[﹣ ， ]，
∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，
∴sin2x=t2﹣1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+ ）2﹣ ，t∈[﹣ ， ]，
由二次函数可知，当t∈[﹣ ，﹣ ]时，函数y=t2+t﹣1单调递减，当t∈[﹣ ， ]时，函数y=t2+t﹣1单调递增，
∴当t=﹣ 时，函数取最小值ymin=﹣ ，故②正确；
③∵f（x）=sin2x+sinx+cosx，
当x= 时，f（x）=1+ ，
当x= 时，f（x）=1，
∴f（x）在区间[0， ]不是单调递增．
故③错误；
④∵f（ ﹣x）=sin[2（ ﹣x）]+sin（ ﹣x）+cos（ ﹣x）=sin（π﹣2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函数关于x= 对称，故④正确．
所以答案是：C．