Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: =1（a>b>0）过点P(1, ）．离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．

①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t．

求t的最大值；

②若直线l的斜率为，试探究OA2+ OB2是否为定值，若是定值，则求出此

定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，t有最大值；定值7

【解析】试题分析: （1）由椭圆过点P(1, ），离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（2）①设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出t的最大值．

②设直线l的方程为，代入椭圆，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出OA2+OB2为定值．

试题解析：

（1） 得 所以椭圆.

（2）①设直线l的方程为，直线l与椭圆C的交点为，

由化简得，易知，

所以，

所以＝，

所以，

所以当时，t有最大值.

②设直线l的方程为，直线l与椭圆C的交点为，

得，

，即.

，

，

=

=

==7.