Question

函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，当1≤x≤4时，求出

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式,平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：设P（x，y）为函数y=f（x-1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2-x，-y），可得f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．由于不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化为f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x²-2x≥y²-2y，即即

x≥y x+y≥0

或

x≤y x+y-2≤0

又∵1≤x≤4，画出可行域．M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴

OM

•

ON

=x+2y=t．进而得出答案．

解答： 解：设P（x，y）为函数y=f（x-1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2-x，-y），
∴f（2-x-1）=-f（x-1），即f（1-x）=-f（x-1）．
∴不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0化为f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（1-1-2y+y²）=f（y²-2y），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x²-2x≥y²-2y，
化为（x-1）²≥（y-1）²，
∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）为奇函数，
又函数y=f（x）在R上的为减函数，
化为（x-1）²≥（y-1）²，
即

x≥y x+y≥0

或

x≤y x+y-2≤0

又∵1≤x≤4，画出可行域．
M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，∴

OM

•

ON

=x+2y=t．
化为y=-

1

2

x+

t

2

．
由图可知：当直线y=-

1

2

x+

t

2

经过点A（4，-2）时，t取得最小值0．
当直线y=-

1

2

x+

t

2

经过点B（4，4）时t取得最大值4+2×4=12．
综上可得：

OM

•

ON

的取值范围是[0，12]．

点评：本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、直线的平移等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．