Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角表，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）求直线C₁N与平面CNB₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由三视图和垂直关系以B为原点，以BA，BB₁，BC分别为xyz轴建立坐标系，可得点的坐标，可得∴

BN

和

B1N

以及

C1N

的坐标，由数量积为0可判垂直，由线面垂直的判定定理可得；（2）由数量积为0可得平面CNB₁的法向量

n

=（1，1，2），设C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，则sinθ=

| C1N • n |

| C1N || n |

，代值计算可得．

解答： （1）由三视图可知BC⊥面ABB₁N，
以B为原点，以BA，BB₁，BC分别为xyz轴建立坐标系，
可得B（0，0，0），A（4，0，0），N（4，4，0）B₁（0，8，0），C（0，0，4），C₁（0，8，4），
∴

BN

=（4，4，0），

B1N

=（4，-4，0），

C1N

=（4，-4，-4）
∴

BN

•

B1N

=0，

BN

•

C1N

=0，又∵B₁N∩C₁N=N，
∴BN⊥平面C₁B₁N
（2）设平面CNB₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

•

CN

=4x+4y-4z=0，且

n

•

CB1

=8y-4z=0，
取y=1，可得z=2，x=1，∴

n

=（1，1，2），
设C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，则sinθ=

| C1N • n |

| C1N || n |

=

2

3

，
∴直线C₁N与平面CNB₁所成角的正弦值为

2

3

点评：本题考查线面角和线面垂直的判定，涉及三视图，建系是解决问题的关键，属中档题．