Question

正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）令b_n=2^n-1•a_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得（a_n-2n）（a_n+1）=0，由a_n＞0，得a_n=2n．
（2）由b_n=2^n-1•a_n=n•2ⁿ，利用错位相减求和法能求出数列{b_n}的前项和T_n．

解答： 解：（1）∵正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n=2n．
（2）b_n=2^n-1•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．