Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AB=

2

，AA₁=2，如图．
（1）当点P在BB₁上运动时（点P∈BB₁，且异于B，B₁），设PA∩BA₁=M，PC∩BC₁=N，求证：MN∥平面ABCD．
（2）当点P是BB₁的中点时，求异面直线PC与AD₁所成角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间向量及应用

分析：（1）通过观察图形，连接A₁C₁，AC，则AC∥A₁C₁，所以AC∥平面BA₁C₁，所以能够证明AC∥MN，从而证明MN∥平面ABCD．
（2）通过观察图形，可知能够建立空间直角坐标系，然后求向量

PC

，

AD1

的坐标，然后求这两个向量的夹角，从而求得异面直线PC与AD₁所成角．

解答： 解：（1）连结AC，A₁C₁，由条件知AC∥A₁C₁；
∵A₁C₁?平面A₁C₁B，且AC?平面A₁C₁B，∴AC∥平面A₁C₁B；
又经过AC的平面ACP∩平面A₁C₁B=MN，所以AC∥MN；
∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．，
（2）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则：P（

2

，

2

，1），C（0，

2

，0），A（

2

，0，0），D₁（0，0，2）；
∴

PC

=(-

2

，0，-1)，

AD1

=(-

2

，0，2)；
设向量

PC

和

AD1

的夹角为θ，则：
cosθ=

PC • AD1

| PC || AD1 |

=

0

3 • 6

=0；
∴θ=90°；
∴异面直线PC与AD₁所成角为90°．

点评：本题考查的知识点为：线线平行的判定，线面平行的判定定理，线面平行的性质定理，空间直角坐标系，向量的坐标，向量数量积的坐标运算，向量的夹角，向量的模，注意这种通过建立空间直角坐标系来求异面直线所成角的方法．还一个需要掌握的是，要证明线线平行，通过证明线面平行得到．