Question

（本题满分14分）设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n（n∈N*），已知点(a_n，4S_n)在函数f (x)=x²+2x+1的图象上．（1）证明{a_n}是等差数列，并求a_n；（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)   a_n=2n-1． (Ⅱ) 见解析  （Ⅲ）见解析

解析:

（1）∵ ，∴   (n≥2)．

两式相减得．整理得 ，

∵ ，∴ （常数）．∴ {a_n}是以2为公差的等差数列．

又，即，解得，∴ a_n=1+(n-1)×2=2n-1．………4分

（2）由（1）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由

≥≥=0，即≥．…7分

（3）结论成立，证明如下：

设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则，

∵

，

把代入上式化简得=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得证．……14分