Question

（2010•昆明模拟）已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx的两个极值点x₁，x₂，若x₁∈（-∞，-1]．x₂∈[2，+∞），则a+b的最大值是（　　）

A．-5

B．-3

C．1

D．3

Answer 1

分析：由题意得x₁，x₂，为f′（x）的两个零点，且

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，利用线性规划知识即可求得a+b的最大值．

解答：解：f′（x）=x²+ax+b，由题意知x₁，x₂，为f′（x）的两个零点，
且

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，即

1-a+b≤0 4+2a+b≤0

，
作出满足不等式组的点（a，b）构成的区域如图阴影所示：

令t=a+b，由图知当直线t=a+b经过点A时t最大，由

4+2a+b=0 1-a+b=0

解得A（-1，-2），
t_max=-1-2=-3，即a+b的最大值为-3．
故选B．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值问题，考查线性规划知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．