Question

下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（　　）

• A、（x+3）（x-1）＞0
• B、（x+4）（x-1）＜0
• C、x²-2x+3＜0
• D、2x²-3x-2＞0

Answer 1

分析：A、根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到x+3与x-1同号，即同时大于0或同时小于0，即可求出不等式的解集，经过判定发现解集不为空集，本选项错误；
B、根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到x+3与x-1异号，即其中一个小于0，令一个大于0，即可求出不等式的解集，经过判定发现解集不为空集，本选项错误；
C、设不等式的左边为一个函数，发现此函数为开口向上的抛物线，且根据根的判别式小于0得到此抛物线与x轴没有交点，从而得到函数值y恒大于0，故小于0无解，即解集为空集，本选项正确；
D、把不等式的左边分解因式，根据两数相乘的符号法则：同号得正，异号得负，得到2x+1与x-2同号，即同时大于0或同时小于0，即可求出不等式的解集，判定发现不为空集，本选项错误．

解答：解：A、（x+3）（x-1）＞0，
可化为

x+3＞0 x-1＞0

或

x+3＜0 x-1＜0

，
解得：x＞1或x＜-3，
不为空集，本选项错误；
B、（x+4）（x-1）＜0，
可化为

x+4＞0 x-1＜0

或

x+4＜0 x-1＞0

，
解得：-4＜x＜1，
不为空集，本选项错误；
C、设y=x²-2x+3，为开口向上的抛物线，
且△=b²-4ac=-8＜0，即抛物线与x轴没有交点，
所y＞0，即x²-2x+3＞0，
则x²-2x+3＜0的解集为空集，本选项正确；
D、2x²-3x-2＞0，
因式分解得：（2x+1）（x-2）＞0，
可化为：

2x+1＞0 x-2＞0

或

2x+1＜0 x-2＜0

，
解得：x＞2或x＜-

1

2

，
不为空集，本选项错误，
故选C．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及空集的定义．选项A，B及D中不等式的解法利用了转化的数学思想，选项C利用二次函数的开口方向，及与x轴的交点来解．