【题目】已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若函数存在两个零点
,证明:
.
【答案】(1)最大值是;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求出导数,由导数确定单调性后可得最大值.
(2)由(1)知两个零点,
,
,零点间关系是
,变形为
,引入变量
,则
,
,
,要证的不等式等价变形为
,
,即证
,(
),为此引入新函数
,利用导数研究函数的单调性为减函数,则可证得结论成立,这里需要多次求导变形再求导才可证明.
(1)函数定义域是,由题意
,
当时,
,
递增,当
时,
,
递减,
所以时,
取得唯一的极大值也是最大值
.
(2)由(1),即
时,
有两个零点
,(
),则
,
,
由,得
,
令,则
,
,
,
,
显然成立,
要证,即证
,
只要证,即证
,(
),
令,
,
,
,
令,则
,
,
令,
,
,
令,
,
时,
是减函数,所以
时,
,
所以是减函数,
,即
(
),
所以是减函数,
,所以
,
在
时是减函数,
,即
,所以
在
上是减函数,
,
所以,即
,
综上,成立.
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【题目】东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便,越来越多的市民选择乘坐轻轨出行,很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站,将车停放在轻轨站停车场,然后进站乘轻轨出行,这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题,决定对机动车停车施行收费制度,收费标准如下:4小时内(含4小时)每辆每次收费5元;超过4小时不超过6小时,每增加一小时收费增加3元;超过6小时不超过8小时,每增加一小时收费增加4元,超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元;超过24小时,按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况,现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次),得到下面的频数分布表:
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.
(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研,记录并统计了停车时长与司机性别的列联表:
完成上述列联表,并判断能否有的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关?
(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用,求X的概率分布列及期望:
(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车,表示3辆车中停车费用大于
的车辆数,求P(
)的概率.
参考公式:,其中
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【题目】在等差数列中,已知公差
,
,且
,
,
成等比数列.
(1)求数列的通项公式
;
(2)求.
【答案】(1);(2)100
【解析】试题分析:(1)根据题意,
,
成等比数列得
得
求出d即可得通项公式;(2)求项的绝对前n项和,首先分清数列有多少项正数项和负数项,然后正数项绝对值数值不变,负数项绝对值要变号,从而得
,得
,由
,得
,∴
计算 即可得出结论
解析:(1)由题意可得,则,
,
,即
,
化简得,解得
或
(舍去).
∴.
(2)由(1)得时,
由,得
,由
,得
,
∴
.
∴.
点睛:对于数列第一问首先要熟悉等差和等比通项公式及其性质即可轻松解决,对于第二问前n项的绝对值的和问题,首先要找到数列由多少正数项和负数项,进而找到绝对值所影响的项,然后在求解即可得结论
【题型】解答题
【结束】
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【题目】甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员,日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元,每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元,日销售量不超过45件没有提成,超过45件的部分每件提成8元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数
的函数关系式;
(II)从两家公司各随机选取一名推销员,对他们过去100天的销售情况进行统计,得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为
(单位: 元),将该频率视为概率,请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作,如果仅从日均收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为他作出选择,并说明理由.
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【题目】某中学高二年级组织外出参加学业水平考试,出行方式为:乘坐学校定制公交或自行打车前往,大数据分析显示,当的学生选择自行打车,自行打车的平均时间为
(单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受
影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?
(2)求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论
的单调性,并说明其实际意义.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|.
(Ⅰ)求函数y=f(x)解析式;
(Ⅱ)求x∈[0,]时,函数y=f(x)的值域.
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【题目】我国古代重要建筑的室内上方,通常会在正中部位做出向上凸起的窟窿状装饰,这种装饰称为藻井.北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井(图1),全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井.它展示出精美的装饰空间和造型艺术,是我国古代丰富文化的体现,从分层构造上来看,太和殿藻井由三层组成:最下层为方井,中为八角井,上为圆井.图2是由图1抽象出的平面图形,若在图2中随机取一点,则此点取自圆内的概率为( )
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A.B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,过
作斜率为
的直线
交
于
,
两点,以线段
为直径的圆
.当
时,圆
的半径为2.
(1)求的方程;
(2)已知点,对任意的斜率
,圆
上是否总存在点
满足
,请说明理由.
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【题目】在正方体中,点
是线段
上的动点,以下结论:
①平面
;
②;
③三棱锥,体积不变;
④为
中点时,直线
与平面
所成角最大.
其中正确的序号为( )
A.①④B.②④C.①②③D.①②③④
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【题目】在四棱锥中,底面
是一直角梯形,
,
,
,
,
底面
.
(1)在线段上是否存在一点F,使得
平面
,若存在,求出
的值;若不存在,试说明理由;
(2)在(1)的条件下,若与
所成的角为
,求二面角
的余弦值.
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