【题目】已知抛物线:
的焦点为
,过
作斜率为
的直线
交
于
,
两点,以线段
为直径的圆
.当
时,圆
的半径为2.
(1)求的方程;
(2)已知点,对任意的斜率
,圆
上是否总存在点
满足
,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,理由见解析.
【解析】
(1)依题意,不妨设
在第一象限,当
时,
,
,由圆的直径可求得
,可得抛物线方程.
(2)设直线:
,
,
,联立
得
,可得出圆
的方程,假设存在点
满足
,则
在以
为直径的圆
上.由圆与圆的位置关系可得解.
(1)依题意,不妨设
在第一象限,
当时,
,
,∴
,∴
,
∴抛物线方程为.
(2)设直线:
,
,
,
由得
,∴
,
,
∴,
∴圆的半径
.
又,
,∴
.
∴圆的方程为
.
即,
假设存在点满足
,则
在以
为直径的圆
上.
∴,圆
的半径
.
法一:(i)若,圆心距
,
∵,
∴圆与圆
内切,有一个交点;
(ii)当时,
,
重合,
,
所以对任意的,圆
上存在点
,使得
.
法二:(i)当时,圆
:
,即
.
联立,
①-②得:即
,代入②得:
.
,
所以两圆相切,有一个交点.
(ii)当时,
,
重合,
,
即对任意的,圆
上存在点
,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额.
(1)完成列联表,并回答能否有
的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合计 |
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率.
附表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知长方体,
,
,
,已知P是矩形
内一动点,
与平面
所成角为
,设P点形成的轨迹长度为
,则
_________;当
的长度最短时,三棱锥
的外接球的表面积为_____________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】线段AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB//EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且.则( )
A.DF//平面BCE
B.异面直线BF与DC所成的角为30°
C.△EFC为直角三角形
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为轴,其准线为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线,对任意的
抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为
,求
的取值范围.
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