[题目]已知长方体....已知P是矩形内一动点.与平面所成角为.设P点形成的轨迹长度为.则 ,当的长度最短时.三棱锥的外接球的表面积为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知长方体，，，，已知P是矩形内一动点，与平面所成角为，设P点形成的轨迹长度为，则_________；当的长度最短时，三棱锥的外接球的表面积为_____________.

【答案】

【解析】

先确定与平面所成角为,即得，从而根据弧长公式得，再根据二倍角正切公式得结果；先确定的长度最短时P点位置，再确定三棱锥的外接球的球心，根据外接圆半径求得球半径，即得球的表面积.

因为长方体中平面，

所以与平面所成角为,

因为与平面所成角为，所以

因为，所以

从而P点形成的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆在矩形内一段圆弧，设其圆心角为，则

因此

因为,所以最小时，长度最短，此时P为AC与上面圆弧的交点,设外接圆圆心为，半径为，

则

设三棱锥的外接球的球心为，半径为,

从而

因此球的表面积为

故答案为：；

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A.B.C.D.

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