Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；

（2）求函数的极值点；

（3）设，若当时，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，无极值点；当时，的极小值点是，无极大值点；（3）.

【解析】

（1）先求出函数的导函数，由切点处的导数等于切线的斜率，得到关于、的一个方程，再由处的切线方程为得出切点坐标，由切点在曲线上得到关于、的方程，联立关于、的方程的两个方程组即可.

（2）先求出导函数，判断函数的单调性，然后根据极值的定义求出即可.

（3）化简得由不等式恒成立，转化为恒成立，只需，通过讨论的范围，求出即可.

（1）由得

由已知可得：即

（2）

所以：当，即时，在上为增函数，无极值点

当，即时，

则有：当时，，当时，，

在为减函数，在上为增函数，

所以，是极小值点，无极大值点；

综上可知：当时，函数无极值点，

当时，函数的极小值点是，无极大值点

（3）

由题意知：当时，恒成立

又不等式等价于：，即

即 ①

①式等价于

由知，

令，则原不等式即为：

又在上为增函数

所以，原不等式等价于：， ②

又②式等价于，即：

设，

在上为增函数，在上为减函数，

又

当时，在上为增函数，在上为减函数

要使原不等式恒成立，须使，

当时，则在上为减函数，

要使原不等式恒成立，须使，

时，原不等式恒成立

综上可知：的取值范围是，的最小值为