【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点D,E分别是线段BC,
上的动点(不含端点),且
.则下列说法正确的是( )
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与
所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
由平行线分线段成比例可知,可判断A;由题意知直三棱柱
是长方体沿对角面切开的一半,故外接球为长方体外接球,球心在
中点,即可判断B;
,所以异面直线
与
所成角为
,求解即可判断C;以A为坐标原点,以
,
,
的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角即可判断D.
在直三棱柱中,四边形
是矩形,
因为,所以
,
不在平面
内,
平面
,
所以平面
,A项正确;
因为,所以
,
因为,所以
,所以
,
易知是三棱柱外接球的直径,
所以三棱柱外接球的表面积为,所以B项错误;
因为,所以异面直线
与
所成角为
.
在中,
,
,
所以,所以C项错误;
二面角即二面角
,
以A为坐标原点,以,
,
的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图
则,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,令
可得
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,令
可得
故二面角的余弦值为
,所以D项正确.
故选:AD
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【题目】在中,
,
,有下述四个结论:
①若为
的重心,则
②若为
边上的一个动点,则
为定值2
③若,
为
边上的两个动点,且
,则
的最小值为
④已知为
内一点,若
,且
,则
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【题目】我国古代重要建筑的室内上方,通常会在正中部位做出向上凸起的窟窿状装饰,这种装饰称为藻井.北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井(图1),全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井.它展示出精美的装饰空间和造型艺术,是我国古代丰富文化的体现,从分层构造上来看,太和殿藻井由三层组成:最下层为方井,中为八角井,上为圆井.图2是由图1抽象出的平面图形,若在图2中随机取一点,则此点取自圆内的概率为( )
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A.B.
C.
D.
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【题目】如图,边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧.现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧
相切于点E,从而将正方形区域OABC分成三块:扇形COE为区域I,四边形OADE为区域II,剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树,区域II内种花,区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为
、
、
,总造价是W,设
(1)分别用表示区域I、II、III的面积;
(2)将总造价W表示为的函数,并写出定义域;
(3)求为何值时,总造价W取最小值?
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【题目】在正方体中,点
是线段
上的动点,以下结论:
①平面
;
②;
③三棱锥,体积不变;
④为
中点时,直线
与平面
所成角最大.
其中正确的序号为( )
A.①④B.②④C.①②③D.①②③④
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【题目】5人并排站成一行,如果甲乙两人不相邻,那么不同的排法种数是__________.(用数字作答);5人并排站成一行,甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)
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【题目】已知椭圆的焦点坐标为,
,过
垂直于长轴的直线交椭圆于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(其中
为常数).
(1)求曲线和
的直角坐标方程;
(2)若曲线和
有且仅有一个公共点,求
的取值范围.
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