【题目】在中,
,
,有下述四个结论:
①若为
的重心,则
②若为
边上的一个动点,则
为定值2
③若,
为
边上的两个动点,且
,则
的最小值为
④已知为
内一点,若
,且
,则
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
【答案】A
【解析】
根据题意,先得为等腰直角三角形;①取
中点为
,连接
,得到
,根据平面向量基本定理,即可得出结果;②先由①得到
,由题意得到
在
上的投影为
,进而可求出向量数量积;③以
点为坐标原点,分别以
、
所在直线为
轴、
轴,建立平面直角坐标系,由题意,设
,
且
,不妨令
,根据向量数量积的坐标表示,即可求出结果;④同③建立平面直角坐标系,设
,根据题意,得到
,再设
,由题意,得到
,
,用
表示出
,即可求出结果;
因为在中,
,
; 所以
为等腰直角三角形;
①如图1,取中点为
,连接
,因为
为
的重心,
所以在
上,且
,
所以,故①正确;
②如图1,同①,因为为
中点,
为等腰直角三角形,所以
,
若为
边上的一个动点,则
在
上的投影为
,
因此,故②错;
③如图2,以点为坐标原点,分别以
、
所在直线为
轴、
轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则
,
,
,易得,
所在直线方程为:
;
因为,
为
边上的两个动点,
所以设,
,且
,不妨令
,
因为,所以
,即
,则
,
所以
,当且仅当
时,等号成立;故③正确;
④同③建立如图3所示的平面直角坐标系,则,
,
设,则
,
又,所以
,即
因为为
内一点,且
,设
,
则,且
,
,
因此,
因为,所以
,所以
无最值,即
无最值,故④错.
故选:A.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的离心率为
,求
的值;
(2)若过点任作一条直线
与椭圆
交于不同的两点
,在
轴上是否存在点
,使得
, 若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为迎接年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了
名学生,将他们的比赛成绩(满分为
分)分为
组:
,
,
,
,
,
,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于
分”,估计
的概率;
(3)在抽取的名学生中,规定:比赛成绩不低于
分为“优秀”,比赛成绩低于
分为“非优秀”.请将下面的
列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
参考公式及数据:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校同时提供、
两类线上选修课程,
类选修课每次观看线上直播
分钟,并完成课后作业
分钟,可获得积分
分;
类选修课每次观看线上直播
分钟,并完成课后作业
分钟,可获得积分
分.每周开设
次,共开设
周,每次均为独立内容,每次只能选择
类、
类课程中的一类学习.当选择
类课程
次,
类课程
次时,可获得总积分共_______分.如果规定学生观看直播总时间不得少于
分钟,课后作业总时间不得少于
分钟,则通过线上选修课的学习,最多可以获得总积分共________分.
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【题目】在平面直角坐标系中,P为直线
:
上的动点,动点Q满足
,且原点O在以
为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程:
(2)过点的直线
与曲线C交于A,B两点,点D(异于A,B)在C上,直线
,
分别与x轴交于点M,N,且
,求
面积的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
过点
,倾斜角为
.以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程
.
(1)写出直线的参数方程及曲线
的直角坐标方程;
(2)若与
相交于
,
两点,
为线段
的中点,且
,求
.
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【题目】已知四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,
为棱
上一动点,点
是
的中点.
(1)求证:;
(2)若,问是否存在点E,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“x0∈R,x0﹣1<0”的否定是“x∈R,x2+x﹣1>0”
C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D.若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点D,E分别是线段BC,
上的动点(不含端点),且
.则下列说法正确的是( )
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与
所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
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