【题目】已知椭圆的焦点坐标为,
,过
垂直于长轴的直线交椭圆于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;内切圆面积的最大值为
,直线的方程为
【解析】
(1)设椭圆方程,由焦点坐标可得,由
,可得
,又
,由此可求椭圆方程;
(2)设,
,
,
,不妨
,
,设△
的内切圆的径
,则△
的周长
,
,因此
最大,
就最大.设直线
的方程为
,与椭圆方程联立,从而可表示△
的面积,利用换元法,借助于导数,即可求得结论.
解:(1)设椭圆方程为,由焦点坐标可得
.
由,可得
.又
,得
,
.
故椭圆方程为.
(2)设,
,不妨令
,
,
设的内切圆的半径为
,则
的周长为
,
,
因此要使内切圆的面积最大,则
最大,此时
也最大.
,
由题知,直线的斜率不为零,可设直线
的方程为
,
由得
,
得,
,
则,令
,则
,
则
令,则
,
当时,
,所以
在
上单调递增,
有,
,
当,
时,
,又
,∴
这时所求内切圆面积的最大值为,此时直线的方程为
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“x0∈R,x0﹣1<0”的否定是“x∈R,x2+x﹣1>0”
C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为假命题
D.若“p或q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题
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【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点D,E分别是线段BC,
上的动点(不含端点),且
.则下列说法正确的是( )
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与
所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
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【题目】如图:某快递小哥从A地出发,沿小路以平均时速20公里/小时,送快件到C处,已知
(公里),
,
,
是等腰三角形,
.
(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处?
(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路追赶,若汽车平均时速60公里/小时,问,汽车能否先到达C处?
参考值:,
,
.
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【题目】如图所示,正方形边长为
,将
沿
翻折到
的位置,使得二面角
的大小为
.
(1)证明:平面平面
;
(2)点在直线
上,且直线
与平面
所成角正弦值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知椭圆过点
,
分别为椭圆C的左、右焦点且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点,直线
平行于OP(O为原点),且与椭圆C交于两点A、B,与直线
交于点M(M介于A、B两点之间).
(i)当面积最大时,求
的方程;
(ii)求证:,并判断
,
的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.
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