【题目】如图,四棱锥的底面
为平行四边形,
底面
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若E是侧棱上的一点,且
与底面
所成的是为45°,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由余弦定理得的长,利用勾股定理,证得
,再由
底面
,得到
,从而证得
平面
,进而得到平面
平面
.
(Ⅱ)以A为坐标原点,,
,
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设
,根据向量的夹角公式,求得
,得到
,进而求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解.
(Ⅰ)在平行四边形中,
,
,
,
由余弦定理得,
可得,所以
,即
,
又底面
,
底面
,所以
,
又 所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)如图所示,以A为坐标原点,,
,
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
设,
,
因为,
,
又因为,所以
,
又由平面的一个法向量为
,
所以,
解得,即
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
由,
,
因为,
,可得
,取
,得
,
同理可得 ,
由,
因为二面角为钝角,所以二面角
的余弦值为
.
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【题目】如图一所示,四边形是边长为
的正方形,沿
将
点翻折到
点位置(如图二所示),使得二面角
成直二面角.
,
分别为
,
的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】如图,边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧.现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧
相切于点E,从而将正方形区域OABC分成三块:扇形COE为区域I,四边形OADE为区域II,剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树,区域II内种花,区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为
、
、
,总造价是W,设
(1)分别用表示区域I、II、III的面积;
(2)将总造价W表示为的函数,并写出定义域;
(3)求为何值时,总造价W取最小值?
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【题目】5人并排站成一行,如果甲乙两人不相邻,那么不同的排法种数是__________.(用数字作答);5人并排站成一行,甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________(用数字作答)
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
为直线
的倾斜角),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程,并求
时直线
的普通方程;
(2)若直线和曲线
交于两点
,点
的直角坐标为
,求
的最大值.
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【题目】已知椭圆的焦点坐标为,
,过
垂直于长轴的直线交椭圆于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】天干地支纪年法,源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”… …依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”… …依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年,史称“辛亥革命”.1949新中国成立,请推算新中国成立的年份为( )
A.己丑年B.己酉年
C.丙寅年D.甲寅年
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