Question

【题目】如图，边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧.现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧相切于点E，从而将正方形区域OABC分成三块：扇形COE为区域I，四边形OADE为区域II，剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树，区域II内种花，区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为、、，总造价是W，设

（1）分别用表示区域I、II、III的面积；

（2）将总造价W表示为的函数，并写出定义域；

（3）求为何值时，总造价W取最小值？

Answer 1

【答案】（1），，（2），定义域为（3）

【解析】

（1）首先用扇形面积公式求出区域I，区域II为两个全等的三角形，所以只需用表示出，即可求出三角形面积，进而求出区域II的面积，区域III用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总造价的单调性，则可求出总造价最小时的值.

解：(1)如图，；

连接OD，则≌，，；

.

（2），

由，知，所以函数的定义域为

(3) ，

由，得或（舍去）

又，所以

当时， ，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，取最小值.

答：时，总造价W取最小值．