Question

【题目】如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得二面角成直二面角.，分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连结，由四边形是正方形，可知在三棱锥中，，从而易知平面，进而可证明；

（2）由二面角为直二面角，可知，即，从而可知，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后分别求出平面、平面的法向量、，进而由，可求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

（1）取的中点，连结，

因为四边形是正方形，所以在三棱锥中，，

因为，平面，所以平面，

又因为平面，所以.

（2）因为二面角为直二面角，平面平面，且，，所以，即，所以两两垂直.

以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，所以，，，，，，，

则，，

显然平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，

取，可得，，所以平面的一个法向量，

则，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.