【题目】已知椭圆过点
,
分别为椭圆C的左、右焦点且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点,直线
平行于OP(O为原点),且与椭圆C交于两点A、B,与直线
交于点M(M介于A、B两点之间).
(i)当面积最大时,求
的方程;
(ii)求证:,并判断
,
的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.
【答案】(1);(2)(i)
;(ii)证明见解析,不可能构成等比数列.
【解析】
(1)设,
.求出
的坐标,根据
,求出
.把点
代入椭圆方程,结合
,求出
,即得椭圆C的方程;
(2)(i)设方程为
,
.把直线
的方程代入椭圆方程,由韦达定理、弦长公式求出
.由点到直线的距离公式求出点P到
的距离
,则
,根据基本不等式求面积的最大值,即求
的方程;(ii)要证结论成立,只须证明
,即证直线
为
的平分线,转化成证明
.
又与C有一个公共点,即
为椭圆的切线,可求
,又
.由题意
,
,
,
四个数按某种顺序成等比数列,推出矛盾,故不可能构成等比数列.
(1)设,
,
则,
.
,
.
又在椭圆上,故
,
又,解得
,
,
故所求方程为.
(2)(i)由于,
设方程为
,
.
由,消y整理得
,
,
则
.
又点P到的距离
,
.
当且仅当,
,即
时,等号成立.
故直线AB的方程为:.
(ⅱ)要证结论成立,只须证明:,
由角平分线性质即证:直线为
的平分线,
转化成证明:.
因为
因此结论成立.
又与C有一个公共点,即
为椭圆的切线,
由得
令,
,
则,
所以,所以
,
故所研究的4条直线的斜率分别为,
,
,
,
若这四个数成等比数列,且其公比记为q,
则应有或
,或
.
因为不成立,所以
,
而当时,
,
,
此时直线PB与重合,不合题意,
故,
,PA,PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.
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【题目】已知椭圆的焦点坐标为,
,过
垂直于长轴的直线交椭圆于
、
两点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
与椭圆交于不同的两点
、
,则
的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(其中
为常数).
(1)求曲线和
的直角坐标方程;
(2)若曲线和
有且仅有一个公共点,求
的取值范围.
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【题目】《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”,某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( )
A.94B.95C.96D.98
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底,
是
的中点。
(1)证明:直线平面
;
(2)点在棱
上,且直线
与底面
所成角为
,求二面角
的余弦值。
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【题目】整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1184和1210,2924和2620是3对“亲和数”,把这六个数随机分成两组,一组2个数,另一组4个数,则220和284在同一组的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒),人传人,传播快,传播广,病亡率高,对人类生命形成巨大危害.在中华人民共和国,在中共中央、国务院强有力的组织领导下,全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎,疫情早在3月底已经得到了非常好的控制(累计病亡人数3869人).然而,国外因国家体制、思想观念与中国的不同,防控不力,新冠肺炎疫情越来越严重.据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午6时公布的统计数据,选取5月6日至5月10日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中t表示时间变量,日期“5月6日”、“5月7日”对应于“t=6"、“t=7",依次下去),由下表求得累计病亡人数与时间的相关系数r=0.98.
(1)在5月6日~10日,美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性?
(2)选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为0的近似数,求每日累计病亡人数y随时间t变化的线性回归方程;
(3)请估计美国5月11日新冠肺炎病亡累计人数,请初步预测病亡人数达到9万的日期.
附:回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为
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【题目】设抛物线的焦点为
,点
是
上一点,且线段
的中点坐标为
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若,
为抛物线
上的两个动点(异于点
),且
,求点
的横坐标的取值范围.
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