Question

【题目】设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点，由线段的中点坐标可得出点的坐标，再代入抛物线的标准方程可得出关于的方程，解出正数的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）设点、，求出直线的斜率，进而求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的标准方程联立，可得出，可知该方程有解，由可求得的取值范围，并进行检验，由此可得出点的横坐标的取值范围.

（1）依题意得，设，由的中点坐标为，得，

即，，所以，得，即，

所以抛物线的标准方程为；

（2）由题意知，设，，则，

因为，所以，所在直线方程为，

联立，

因为，得，即，

因为，即，故或.

经检验，当时，不满足题意；

所以点的横坐标的取值范围是.