Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，焦距为.

（1）求的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点.

①证明：直线的斜率依次成等比数列.

②若与关于轴对称，证明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）①见解析；②见解析.

【解析】

（1）根据离心率、焦距和可解出，从而得到椭圆方程；（2）①设直线的方程为：，，，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得；整理可知：，从而证得结论；②与关于轴对称可知，由①知，则，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.

（1）由题意可得：，解得：

椭圆的方程为：

（2）证明：①设直线的方程为：，，

由消去得：

则，且，

即直线的斜率依次成等比数列

②由题可知：

由①可知：，，

若，则两点重合，不符合题意；可知无法取得等号