Question

【题目】若偶函数y=f（x）(满足f（1+x）=f（1-x），且当时，，则函数g（x）=f（x）-的零点个数为_________个．

Answer 1

【答案】10

【解析】

运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y＝f（x）的周期，构造函数y＝f（x），h（x）＝|lgx|，则函数g（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．

∵偶函数y＝f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），

即函数f（x）关于x＝1对称，即有f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），

则函数y＝f（x）的周期为2，

构造函数y＝f（x），h（x）＝|lgx|，

则函数g（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，

画出函数图象，如图，

由于f（x）的最大值1，

所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，

即函数零点的个数为10．

故答案为10．