Question

已知f(x)=

ex

x

，给定正的常数k，解不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0．

Answer 1

分析：本题先要求对商的导数，再代入已知不等式，通过通分等手段化为（x-1）（kx-1）＜0，然后针对k进行分类讨论，当0＜k＜1时，1＜

1

k

，解得1＜x＜

1

k

；当k=1时，1=

1

k

，不等式无解；当k＞1时，1＞

1

k

，解得

1

k

＜x＜1，注意最后写成集合的形式．

解答：解：∵f(x)=

ex

x

，∴f′（x）=

(ex)′x-ex(x)′

x2

=

ex(x-1)

x2

，
不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0可化为，

ex(x-1)

x2

+k（1-x）

ex

x

＞0，即

ex(x-1)+k(1-x)xex

x2

＞0
变形得

ex(x-1)(1-kx)

x2

＞0，即

ex(x-1)(kx-1)

x2

＜0，
只需（x-1）（kx-1）＜0，对应方程的两根分别为1，

1

k

当0＜k＜1时，1＜

1

k

，解得1＜x＜

1

k

；
当k=1时，1=

1

k

，不等式无解；
当k＞1时，1＞

1

k

，解得

1

k

＜x＜1．
故不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集为：
当0＜k＜1时，{x|1＜x＜

1

k

}；
当k=1时，空集；
当k＞1时，{x|

1

k

＜x＜1}．

点评：本题为不等式的解法与函数导数的结合，注意不等式的等价转化，注意在解不等式（x-1）（kx-1）＜0时，对k的讨论，属中档题．