Question

已知函数f(x)=

ex

x-a

（a＜0）
（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（2）若实数x∈（a，0]时，不等式f(x)≥

1

2

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的分母不为0，可求函数的定义域；求导函数，令其大于0（小于0），结合函数的定义域，可求函数的单调区间；
（2）由题意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

时，实数x∈（a，0]时，使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立，故问题转化为求函数f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}….1分f′(x)=

ex(x-a)-ex•1

(x-a)2

=

ex[x-(a+1)]

(x-a)2

．….3分
由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．
∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（-∞，a），（a，a+1）．….6分
（2）由题意可知，a＜0，且f(x)=

ex

x-a

在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

时，实数x∈（a，0]时，
使得不等式f(x)≥

1

2

恒成立．
①若a+1＜0即a＜-1时，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．则ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

-1….9分
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f(0)=-

1

a

．
由-

1

a

≥

1

2

得a≥-2．                                              …10分
综上所述，0＞a≥ln

1

2

-1….12分．

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求函数的最值，考查等价转化能力，属于中档题．