Question

已知函数f(x)=

ex

x-2

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）图象在与y轴交点处的切线与两坐标轴所围成的图形面积．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，根据函数的单调性与其导函数正负之间的关系求单调区间．
（2）先求出与y轴的交点，得到切线方程，最后根据切线方程与两坐标轴的交点坐标得到面积．

解答：解：（1）函数的定义域为{x|x≠2}， f′(x)=

(x-3)ex

(x-2)2

当x＞3时，f'（x）＞0，
当x＜3且x≠2时，f'（x）＜0．
故函数f（x）的增区间为（3，+∞），减区间为（-∞，-2），（2，3）．
（2）函数f（x）的图象与y轴交点坐标为(0， -

1

2

)，?∴f′(0)=

-3

4

故切线方程为y+

1

2

=-

3

4

x，
切线与两坐标轴的交点分别为(0， -

1

2

)和(-

2

3

， 0)
∴所求图象的面积S=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

．

点评：本题主要考查导数的几何意义和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．属基础题．