Question

18．设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，MF₁⊥MF₂，且|MF₂|=|MO|（其中点O为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：△OMF₂为等边三角形，∠OF₂M=60°，|MF₂|=c，丨MF₁丨=$\sqrt{3}$c，丨MF₁丨+|MF₂|=2a=$\sqrt{3}$c+c=（$\sqrt{3}$+1）c，a=$\frac{（\sqrt{3}+1）}{2}$，由椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：MF₁⊥MF₂，则△F₁MF₂为直角三角形，
由|MF₂|=|MO|，
O为F₁F₂中点，则丨OM丨=丨OF₂丨，
∴△OMF₂为等边三角形，∠OF₂M=60°
∴|MF₂|=c，
∴丨MF₁丨=$\sqrt{3}$c，
由椭圆的定义可知：
丨MF₁丨+|MF₂|=2a=$\sqrt{3}$c+c=（$\sqrt{3}$+1）c，a=$\frac{（\sqrt{3}+1）}{2}$，
则该椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}c}$=$\sqrt{3}$-1，
该椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查直角三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．