Question

5．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求f（x）的表达式；
（2）当x∈[0，3]时，画出函数f（x）的图象，并指出其值域．

Answer 1

分析 （1）利用待定席数法设出二次函数一般形式，求出f（x+1），f（x-1）利用二次多项式相等求出参数值；
（2）根据二次函数性质画出图象，利用图象得出函数的值域．

解答 解：∵f（x）是二次函数，
∴可设f（x）=ax²+bx+c．（a≠0），
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+2ax+1+bx+b+c．
f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c=ax²-2ax+1+bx-b+c．
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2+2bx+2c=2ax²+2bx+2c+2…①
又f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x…②
显然，①、②恒等，
∴通过比较各项系数，得：a=1、b=-2、c=-1．
∴f（x）=x²-2x-1．
（2）x∈[0，3]时，画出函数f（x）的图象，如下：


由图可知函数的值域为[-2，2]．

点评 考查了待定系数法求函数表达式，多项式相等和二次函数图象的画法，属于基础题型，应熟练掌握．