Question

17．已知tan（π+α）=2，求下列各式的值：
（1）$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}$；  
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}$．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．

解答 解：（1）由已知得tanα=2．
∴$\frac{{2cos（\frac{π}{2}-α）+sin（\frac{π}{2}+α）}}{{sin（π+α）+3sin（\frac{3π}{2}+α）}}=\frac{2sinα+cosα}{-sinα-3cosα}=\frac{2tanα+1}{-tanα-3}=-1$．
（2）$\frac{1}{{（{sinα-3cosα}）（{cosα-sinα}）}}=\frac{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}{{4sinαcosα-3{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}$=$\frac{{{{tan}^2}α+1}}{{4tanα-3-{{tan}^2}α}}=5$

点评 本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．