Question

（2011•孝感模拟）n²（n≥4）个正数排成行列的数表：a₁₁、a₁₂ 、a₁₃、…a_1n，a₂₁、a₂₂、a₂₃…a_2n…a_n1、a_n2、a_n3…a_nn，其中，每一行数成等差数列，每一列数成等比数列，并且各列的公比都相等．已知a12=1，a14=2，a23=

3

4

，则a21=

1

4

；a_nn=

n(

1

2

)n

．

Answer 1

分析：因为每一行数成等差数列，每一列数成等比数列，并且各列的公比都相等．所以先根据a12=1，a14=2，a23=

3

4

，求出等差数列的公差与等比数列的公比，再根据a12=1，a14=2，a23=

3

4

，求出a₂₁，a_nn．

解答：解：∵a₁₁、a₁₂ 、a₁₃、…a_1n成等差数列，且a₁₂=1，a₁₄=2
∴d=

2-1

2

=

1

2

，a₁₁=a₁₂-

1

2

=

1

2

，a₁₃=a₁₂+

1

2

=

3

2

，a_1n=

1

2

+（n-1）×

1

2

=

n

2

∵a₁₃，a₂₃，a₃₃，…，a_n3成等比数列，且a₁₃=

3

2

，a23=

3

4

，∴q=

1

2

∵a₁₁，a₂₁，a₃₁，…，a_n1成等比数列，公比为

1

2

，∴a₂₁=a₁₁q=

1

2

×

1

2

=

1

4

∵a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等比数列，公比为

1

2

，∴a_nn=a_1nq^n-1=

n

2

(

1

2

)2=n(

1

2

)n
故答案为

1

4

，n(

1

2

)n．

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用．