Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，在Rt△ABC中，C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AD=2

6

，AE=6

2

，求EC的长．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点O，连接OE，易证BC∥OE，从而有OE⊥AC，即证得AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）设⊙O的半径为r，在△AOE中，由OA²=OE²+AE²可求得r=2

6

，从而可得∠A=30°，∠AOE=60°，∠CBE=∠OBE=30°，于是可求EC．

解答：解：（1）取BD的中点O，连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，
∴BC∥OE，
∴∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）设⊙O的半径为r，在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即(r+2

6

)2=r²+(6

2

)2，
解得r=2

6

．
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

r=

1

2

×

3

×2

6

=3

2

．

点评：本题考查直线与圆相切，考查三角形中的边角运算，突出考查推理分析与运算能力，属于中档题．