Question

6．已知集合A={x|ax²+2ax+1=0，x∈R}，B={a|ax-1=0}，a为实数．
（1）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
（2）A∩B≠∅，求a．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，对于二次方程的根至多有一个，令判别式小于等于0．
（2）A∩B≠∅，得到ax²+2ax+1=ax-1有解，即可求出a的范围．

解答 解：（1）∵集合A中至多有一个元素，
∴当a=0时，符合题意，
当a≠0时，△=4a²+4a≤0解得-1≤a＜0，
故a的取值范围为[-1，0]；
（2）∵A∩B≠∅，
∴ax²+2ax+1=ax-1有解，
即ax²+ax+2=0有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{{a}^{2}-8a≥0}\end{array}\right.$，
解得a＜0或a≥8，
∴a的取值范围为（-∞，0）∪[8，+∞）

点评 本题考查二次方程的根的个数与判别式的符号有关；考查分类讨论的数学思想方法．注意二次项的系数为字母时，一定讨论系数为0时的情况．